Trung Tâm Kiến Thức CMS

[kiemtraquiz] PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1: QUÁ BÁ KHÍ !!!  Trời đang mưa to, Quang chạy ra giữa sân trường để farm aura. Cả trường đều đi ra lan can để xem Quang biểu diễn và hò hét rất phấn khích vì lượng bá khí quá lớn mà Quang tỏa ra. Mức độ bá khí của Quang được cho bởi hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2026\) (aura). Hỏi mức độ bá khí của Quang đạt cực đại là bao nhiêu ? A. \(+\infty\) aura B. 2026 aura C. 2022 aura D. 1000 aura [explain] Ta có: \(y' = 3x^2 - 6x\). \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\). Mức độ bá khí cực đại là: \(y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2026 = 2026\) (aura.. Chọn B. [/explain] Câu 2: Chọn phát biểu đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm số \(y = ax^4 + bx^2 + c\), \(a \neq 0\). A. Hàm số có thể đơn điệu trên \(\mathbb{R}\). B. Khi \(a > 0\) thì hàm số luôn đồng biến. C. Hàm số luôn tồn tại đồng thời khoảng đồng biến...

[kiemtraquiz] SỞ GD&ĐT TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ ĐÁNH GIÁ ĐỊNH KỲ KHỐI 12 NĂM HỌC: 2026 - 2027 Môn: Toán Mã đề: 308 PHẦN I: (3,0 ĐIỂM) - TRẮC NGHIỆM BỐN PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN Câu 1: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(2; -3; 5)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((Oxy)\) có tọa độ là A. \((2; 0; 5)\). B. \((0; -3; 5)\). C. \((2; -3; 0)\). D. \((0; 0; 5)\). [explain] Hình chiếu vuông góc của điểm \(M(x; y; z)\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) là điểm \(M'(x; y; 0)\). Do đó hình chiếu của \(M(2; -3; 5)\) là \((2; -3; 0)\). [/explain] Câu 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 2}\) là A. \(y = 2x + 3\). B. \(y = x - 1\). C. \(y = 2x - 3\). D. \(y = -2x + 3\). [explain] Với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất \(y = \frac{u(x)}{v(x)}\), phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là \(y = \frac{u'(x)}{v'(x)}\). Ta có \(u'(x) = 2x - 3\) và \(...

  1. Công thức xác suất toàn phần Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1, ta có: \( P(A) = P( A \cap B ) + P( A \cap \overline{B} ) = P(B).P( A|B ) + P(\overline{B}).P( A|\overline{B} ) \) 2. Công thức tính Bayes Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, P(B) > 0, ta có: \( P( B|A ) = \frac{P(B).P( A|B )}{P(A)} \) → Nhận xét: Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, P(B) > 0, do \( P(A) = P(B).P( A|B ) + P(\overline{B}).P( A|\overline{B} ) \) nên công thức Bayes còn có dạng: \( P( B|A ) = \frac{P(B).P( A|B )}{P(B).P( A|B ) + P(\overline{B}).P( A|\overline{B} )} \) 3. Kiến thức cần nhớ 3.1 Công thức xác suất toàn phần \( P(A) = P( A \cap B ) + P( A \cap \overline{B} ) = P(B).P( A|B ) + P(\overline{B}).P( A|\overline{B} ) \) 3.2 Công thức Bayes \( P( B|A ) = \frac{P(B).P( A|B )}{P(A)} \) hoặc \( P( B|A ) = \frac{P(B).P( A|B )}{P(B).P( A|B ) + P(\overline{B}).P( A|\overline{B} )} \) Chú ý khi sử dụng Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes Công thức xác suất toàn phầ...

  Nguồn: Toán học muôn nơi 1. Định nghĩa xác suất có điều kiện → Xác suất có điều kiện Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu P( A|B ). 2. Công thức xác suất có điều kiện Nếu P( B ) > 0 thì \( P( A|B ) = \frac{P( A \cap B )}{P( B )} \) Chú ý: • Nếu P( B ) > 0 thì \( P( A \cap B ) = P( B ) . P( A|B ) \) • Nếu A và B là hai biến cố bất kì thì: \( P( A \cap B ) = P( A ) . P( B|A ) = P( B ) . P( A|B ) \) Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất. Chú ý: • Cho A và B là hai biến cố với P( B ) > 0. Khi đó, ta có: \( P( A|B ) = \frac{n( A \cap B )}{n( B )} \) Trong đó \( \begin{cases} n( A \cap B ) \text{ là số các trường hợp thuận lợi của } ( A \cap B ) \\ n( B ) \text{ là số các trường hợp thuận lợi của } ( B ) \end{cases} \) • Nếu A và B là hai biến cố bất kì, với P( B ) > 0 thì: \( P( \overline{A}|B ) = 1 - P( A|B ) \) • Cho A và B là hai biến cố với 0 < P( A ) < 1;...

  Cho dữ kiện sau: Mặt cầu (S) tâm I, bán kính R có phương trình: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \) (Dạng 1) Phương trình này có thể được biễu diễn cách khác như sau: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \) với \( d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2 \Rightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \\ R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} \end{cases} \) (Dạng 2) → Suy ra Phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \) là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \) Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I đi qua điểm M BƯỚC 1: Tính bán kính R = IM. BƯỚC 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1 Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB BƯỚC 1: Tìm tâm I là trung điểm AB Bán kính \( R = \frac{AB}{2} = IA = IB \) BƯỚC 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1

  1. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng: \( \Delta: \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \) có VTCP \( \vec{u} = (a; b; c) \) và đường thẳng \( \Delta': \frac{x - x'_0}{a'} = \frac{y - y'_0}{b'} = \frac{z - z'_0}{c'} \) có VTCP \( \vec{u'} = (a'; b'; c') \). Đặt \( \alpha = (\Delta, \Delta') \), khi đó: \( \cos\alpha = |\cos(\vec{u}, \vec{u'})| = \frac{|a.a' + b.b' + c.c'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}} \) 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho mặt phẳng \( (\alpha): Ax + By + Cz + D = 0 \) có là VTPT \( \vec{n} = (A; B; C) \) và đường thẳng \( \Delta: \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \) có \( \vec{u} = (a; b; c) \) là VTCP. Gọi \( \phi \) là góc giữa mặt phẳng \( (\alpha) \) và đường thẳng \( \Delta \), khi đó ta có: \( \sin\phi = |\cos(\vec{n}, \vec{u})| = \frac{|A.a + B.b + C.c|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \) 3. ...

  1. Phương trình tham số của đường thẳng 1.1 Véctơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng \( \Delta \). Véctơ \( \vec{u} \neq \vec{0} \) gọi là véctơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \( \Delta \) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \( \Delta \). Chú ý: • Nếu \( \vec{u} \) là VTCP của \( \Delta \) thì \( k.\vec{u} \ (k \neq 0) \) cũng là VTCP của \( \Delta \). • Nếu đường thẳng \( \Delta \) đi qua hai điểm A và B thì \( \overrightarrow{AB} \) là một VTCP của \( \Delta \). • Nếu \( \Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) thì \( [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = \vec{u} \) là một VTCP của \( \Delta \) (trong đó \( \vec{n_P}, \vec{n_Q} \) lần lượt là VTPT của (P) và (Q)). 1.2 Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua \( M(x_0; y_0; z_0) \) và có VTCP \( \vec{u} = (a; b; c) \). Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \). Phương trình này gọi là phươn...

  1. Vectơ pháp tuyến → Định nghĩa: Cho mặt phẳng \( (\alpha) \). Véctơ \( \vec{n} \neq \vec{0} \) gọi là véctơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \( (\alpha) \) nếu giá của \( \vec{n} \) vuông góc với \( (\alpha) \) kí hiệu \( \vec{n} \perp (\alpha) \) Chú ý: • Nếu \( \vec{n} \) là VTPT của \( (\alpha) \) thì \( k.\vec{n} (k \neq 0) \) cũng là VTPT của \( (\alpha) \). Vậy mặt phẳng \( (\alpha) \) có vô số VTPT. • Nếu hai véctơ \( \vec{a}, \vec{b} \) (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên) \( (\alpha) \) thì \( \vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] \) là một VTPT của mặt phẳng \( (\alpha) \). • Nếu ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng thì véctơ \( \vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \) là một VTPT của mặt phẳng \( (\alpha) \). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Cho mặt phẳng \( (\alpha) \) đi qua \( M(x_0; y_0; z_0) \), có \( \vec{n} = (A; B; C) \) là một VTPT. Khi đó phương trình tổng quát của \( (\alpha) \) có dạng: \( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - ...

 Ứng dụng tích phân trong diện tích: \( S = \int_a^b |f(x)| dx \) Ứng dụng tích phân trong thể tích: \( V_{Ox} = \pi \int_a^b f^2(x) dx \) Tổng hợp công thức parabol \( S = \frac{4}{3} Rh \) \( V = \frac{1}{2} \pi R^2 h \) 2 đường cong xét trên [a; b] » Diện tích phần được giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng \( x = a; x = b \) là: \( S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx = \int_a^{x_0} [g(x) - f(x)] dx + \int_{x_0}^b [f(x) - g(x)] dx \) » Thể tích phần được tạo bởi khi quay phần giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng \( x = a; x = b \) là: \( V_{Ox} = \pi \int_a^b |f^2(x) - g^2(x)| dx \) Nếu hai đường cong cắt nhau, xét phương trình hoành độ giao điểm: \( f(x) - g(x) = k(x - a)(x - b)(x - c) \) \( f(x) - g(x) = k(x - a)(x - b)^2 \) Dấu của diện tích hình phẳng: \( \int_a^b |f(x)| dx = S_1 + S_2 \) \( \int_a^b f(x) dx = S_1 - S_2 \) \( \int_a^b |f(x) - g(x)| dx = S_1 + S_2 \) \( \int_a^b [f(x) - g(x)] dx = S_1 - S_2 \) Thể tích vật thể có thiết diện: \( V = \int_a^b S(x) ...

  TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Tính tích phân \( I = \int_a^b \frac{P(x)}{Q(x)} dx \) với \( P(x) \) và \( Q(x) \) là đa thức của x • Nếu bậc của \( P(x) \) lớn hơn hoặc bằng bậc của \( Q(x) \) thì dùng phép chia đa thức. • Nếu bậc của \( P(x) \) nhỏ hơn bậc của \( Q(x) \) thì có thể xét các trường hợp: Khi \( Q(x) \) chỉ có nghiệm đơn \( \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \) thì đặt \( \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x - \alpha_1} + \frac{A_2}{x - \alpha_2} + ... + \frac{A_n}{x - \alpha_n} \) Khi \( Q(x) = (x - \alpha)(x^2 + px + q) \), \( \Delta = p^2 - 4q < 0 \) thì đặt \( \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x - \alpha} + \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \) Khi \( Q(x) = (x - \alpha)(x - \beta)^2 \) với \( \alpha \neq \beta \) thì đặt \( \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x - \alpha} + \frac{B}{x - \beta} + \frac{C}{(x - \beta)^2} \) TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC VÔ TỶ • Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau: \( \int \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} dx = \sqrt{f(x)} + C \) \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2...

  CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HAY GẶP \( \int dx = x + C \) \( \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C \ (\alpha \neq -1) \) \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \ (0 < a \neq 1) \) \( \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \ (x \neq 0) \) \( \int e^x dx = e^x + C \) \( \int \cos x dx = \sin x + C \) \( \int \sin x dx = -\cos x + C \) \( \int \sin kx dx = -\frac{\cos kx}{k} + C \) \( \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C \) \( \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C \) \( \int du = u + C \) \( \int u^\alpha du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C \ (\alpha \neq -1) \) \( \int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C \ (0 < a \neq 1) \) \( \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \ (u \neq 0) \) \( \int e^u du = e^u + C \) \( \int \cos u du = \sin u + C \) \( \int \sin u du = -\cos u + C \) \( \int \frac{1}{\cos^2 u} du = \cos kx dx = \frac{\sin kx}{k} + C \) \( \int \frac{1}{\sin^2 u} du = -\cot u + C \) CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG \( \int d(ax + b) = \frac{1}{a}(ax + b) + C \) \( \int (a...

 Biên soạn: Thầy Lê Minh Tâm TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Chủ đề 01: NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CHUNG. 1. Định nghĩa: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\) (\(K\) là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x) \ \forall x \in K\). Ký hiệu: \(\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + C\). 2. Định lý: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì: ● Với mỗi hằng số \(C\), hàm \(G(x) = F(x) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\). ● Mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\), với \(C\) là một hằng số. ⟶ Do đó \(F(x) + C, C \in \mathbb{R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\). 3. Tính chất: \(\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)' = f(x)\) và \(\int f'(x)\mathrm{d}x = f(x) + C\). \(\int k \cdot f(x)\mathrm{d}x = k \cdot \int f(x)\mathrm{d}x\) với \(k \neq 0\). \(\int [f(x) \pm g(x)]\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}x \pm \int g(x)\mathrm{d}x\) 4. Đị...